石窟大多依山而凿，主要以群体的形式存在，规模大，延续的时间长，一般都是十几个、几十个成群成组集中在一个区域，更大的由几十个到几百个甚至上千个洞窟组成．鉴于不同时代的艺术和宗教的审美要求，各个地区、各个时代都有不同的石窟形式．由于石窟特殊存在形式和其所具有的重要文化价值，它的抗震防灾工作对于洞窟文物保护具有十分重要的意义．
石窟围岩及其附属构筑物地震稳定性分析评价是石窟文物地震安全评估及防灾对策研究中的重要一环．在漫长的历史岁月中,由于多种自然和人为因素的作用，我国许多著名的大型石窟群都存在着严重的危及安全的病害，如边坡失稳、岩块崩塌、洞窟崖壁开裂、窟顶崩坍剥落、窟龛岩体及石像风化严重等〔1〕，亟待加固修缮．有些石窟地处地震频繁活动区〔2〕，也需要进行抗震加固．对于一些石窟，已经采取了不同形式的加固措施，如60年代莫高窟的抢险加固工程是以重力挡墙的形式阻止石窟大面积的崩塌；70年代麦积山石窟的加固，采用的是喷锚加固与袭隙灌浆相结合的方式，彬县大佛寺石窟、安西榆林窟等石窟的修缮加固也基本上采用了类似的方法；龙门、云岗石窟在防止岩体崩塌的加固工程中，则采用了化学灌浆粘结、补砌等方法．这些已加固了的石窟同样存在着抗震安全评价问题．本文主要以莫高窟为例，探讨采用重力挡墙形式加固的石窟的地震稳定性评价分析方法．

1 地震稳定性评价中需考虑的若干重要因素

1.1 影响石窟围岩稳定性的主要因素

洞窟所在崖体的地震稳定性主要取决于4个方面的因素：（1）地震因素：包括地震动强度、地震作用特点、地震动持续时间等；（2）环境工程地质条件：包括岩性、岩体结构及裂隙分布、岩体力学性质（抗拉、抗剪强度等）、地形地貌、水文气象环境等；（3）工程因素：主要是指洞窟的方位、分布方式（单洞或群洞及其布局关系）、和规模（高度、跨度及长度）、形态、施工方法（开挖顺序、一次成洞、分段开挖）、开挖工艺、围岩暴露时间以及使用时其它工程活动的影响等；（4）加固工程构筑物对石窟崖体的加固效果．其中，支撑地基条件和挡墙强度及持力状况尤为重要．
这些因素的不同组合，将使不同区段的石窟崖体具有不同的震动破坏危险性．

1.2 挡墙加固型石窟的特点

西北地区的石窟大都属于砂岩、砾岩型石窟．洞窟分前室和后室（主室），前后室以甬道贯通．后室为方底、直墙，拱顶呈覆斗形或人字形，部分有中心岩柱．洞室围岩无任何支撑和衬砌措施．以莫高窟为例，由于千余年的不断开凿，布满洞窟的崖面已“状若蜂巢”．洞室长一般4～10 m，少数达15～20 m，宽高约3～8 m，部分小洞仅1～1.5 m见方．洞窟群系不同时代开挖，基本成层状排列．部分区段的洞窟非常密集，洞室间隔墙及顶、底板岩层较薄，其厚度仅为0.5～1.5 m，部分洞室仅0.1～0.3 m．从防止石窟大面积崩塌的角度考虑，对于这种开凿于半胶结弱质围岩直立边坡上的薄顶、薄底、薄墙、无衬砌密集洞群，采用重力挡墙的加固形式是一种比较可行的方法．

1.3 莫高窟加固工程特点

1.3.1 砌体结构特点
莫高窟整个加固工程设计可归纳为3个主要方面：(1)顶：采用梁柱结构用以支顶悬空的石窟．当支顶范围较小，如只支顶某一洞窟前室顶部，而下部又有岩石地基时，就采用这种结构形式．柱基础直接砌在岩石地基上，若柱高超过一层洞窟高度，则将柱砌在挡墙的上部．2个柱顶上面架设支顶梁，梁上再砌片石紧贴上部悬空的岩体．(2)挡：建造浆砌块石或混凝土重力挡墙以抵抗岩体的侧压力，防止崖体向外滑移和倾倒．挡墙墙体厚重，且由下向上墙身断面逐层减小，故在每层洞窟地板高程设计向内收进的错台，并将其设计成人行走廊．挡墙在窟口留出窟门，在顶部成斜面收进，与山体自然相接．墙的内侧与岩体紧贴，当上部有外悬前室或危岩时，为不使下层洞窟受压，则从砌体内伸出悬臂梁，在悬臂梁上砌片石柱予以支承．（3）刷：对外悬过多的岩体或没有必要支顶的零星危石，采用削方的办法予以清除．
1.3.2 基础处理与沉降缝的设置
支顶结构物基础一般都坐落在基岩上，部分地段采用柱墩式深基础，用连续地基梁承托上部的挡墙砌体．当砌体较厚，基础位于基岩及可压缩性土上时，则在砌体中设计纵向沉降缝．沉降缝内侧的砌体位于基岩上，沉降缝外侧的砌体全部位于同一种土上，并采用延期封顶达到紧托悬崖的目的．当地基土变化较大时，每隔20～30 m设计横向变形缝作为伸缩及沉降缝．
以上几个方面的因素是在石窟地震稳定性评价中需要重点考虑的．

2 石窟围岩及其附属构筑物地震稳定性评价方法

2.1 拟静力分析法

2.1.1 计算模型的建立
挡墙的横截面尺寸相对墙的纵向长度要小得多，而且在施工时每隔一定距离留有沉降缝，因此在计算时按平面应变问题处理．立柱则按实体尺寸计算．
地震稳定性验算分为强度验算和整体稳定性验算2种情况．进行强度验算时将挡墙看成在路面高程之上的弹性悬臂梁，分析在各种荷载组合情况下梁中的应力分布．在进行整体稳定性验算时，将挡墙考虑为一刚性体，分析各种荷载组合情况下沿墙基底面的抗滑稳定性及绕墙址点的抗倾倒稳定性．实际情况下，岩体中的裂隙下切深度是有限的，在计算中假定裂隙下切至墙基，这种假定忽略了未切穿岩体的作用，因而计算结果是保守的．计算中没有考虑洞窟挖空的影响，即假定洞窟是由岩体充填的．
2.1.2 墙体强度验算
假定墙体是道路高程上固结的悬臂梁，开裂岩体在道路高程上固结于下部岩体，墙体与岩体之间在垂直方向上允许相对滑动，墙体与岩体在水平方向上位移一致，墙顶及临空面为自由面．将墙体重力考虑为体力，其所受地震力仅考虑水平地震力．同时认为开裂岩体在裂隙位置完全自由，即与后方山体没有约束．
2.1.3 墙体整体稳定性验算
假定墙体为刚性体．其静荷载主要为重力，墙底正压力和摩擦力、墙前填土被动土压力、墙后岩体沿裂隙面的正压力及摩擦力、墙背与岩体间的正压力及摩擦力．将墙体及墙后开裂岩体所受地震力分为水平地震力和竖直地震力2种．水平地震力方向指向墙外临空方向，竖直地震力按水平地震力的65%考虑，且方向竖直向上，即最不利的组合情况．

抗倾稳定系数K1＝抗倾力矩/倾倒力矩 (考虑沿墙址倾倒)
抗滑稳定系数K2＝抗滑力/滑动力 （考虑沿墙底面滑动）
偏心比＝e/B

其中：e为偏心距，向山体方向为负，向临空方向为正；B为基底宽度．
2.1.4 荷载组合
荷载按静荷载及地震荷载组合．地震荷载分别按Ⅶ、Ⅷ和Ⅸ3种烈度情况考虑．为单独验算支挡构筑物自身的地震稳定性，考虑了有岩体作用（考虑支挡墙与岩体共同稳定性）和没有岩体作用（仅考虑挡墙地震稳定性）2种情况．采用平面应变问题的有限元法计算墙体中的应力．先划分单元，形成刚度矩阵及荷载向量，然后求解节点位移和应变，最后求解节点应力．

2.2 动力分析方法

动力分析方法考虑岩体在节理裂缝处以及石窟和附属结构之间的动接触问题，通过接触面的相互约束建立整个系统的力的平衡．另一特点是在计算中引入时间因素，即考虑动态过程，可以模拟显示石窟岩体及其附属结构从破坏前到破坏后的整个非连续变形的动态过程，并充分考虑这一动态过程的作用特点．在具体的计算过程中可引入运动平衡方程．
石窟及附属工程构筑物体系地震稳定性数值模拟分析计算的基本假定与常规的二维有限元地震反应分析的假定相类似〔3〕．在动荷载作用下，有限元体系在时刻t＋Δt的运动平衡方程为：

(1)

式中：M为体系总质量矩阵；C为体系的总阻尼矩阵；K为体系的总刚度矩阵；和ut+Δt分别为体系的节点加速度向量、速度向量和位移向量；为作用于基底的地震加速度向量．
体系的总刚度矩阵可采用Rayleigh阻尼,即C=αM+βK,其中α、β为阻尼系数．运动平衡方程的求解可以采用Newmark隐式积分法〔4〕或振型叠加法,采用Mohr-Coulomb屈服准则和材料的弹塑性本构关系，对超过屈服点的应力进行应力调整．在出现拉应力的地方，由该处的最大主应力和该处的抗拉强度相比较作出判断．
近几年来，动力接触问题越来越引起人们的重视，在许多有限元分析程序中都引入了接触单元〔5，6〕．洞窟和附属构筑物是2个刚性完全不同的结构体，它们之间的关系可视为接触关系．通过接触面单元，节理的动力冲击和接触性质可以在每个时间步结束时加以确定，这样就可以比较全面地分析岩体节理内部和接触面上的动力特性．
将挡墙与洞窟岩体视为边界上相互接触的2个物体SⅠ和SⅡ ，见图1．对其中任一个接触点j，取SⅠ物体上该点外法线方向作为n方向，然后逆时针方向旋转90°，作为其t方向，以（nj，tj）组成局部坐标系．设SⅠ和SⅡ上接触点对法向接触力为Fnij(i=I,Ⅱ；j=1,2,…,k；k为接触点对象)，切向接触力为Ftij(i=I,Ⅱ；j=1,2,…,k)，相应的法向位移和切向位移分别为uij，vij．